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## 引言
上一篇我们确立了核心心智模型：变量是名字，对象在堆上，赋值是绑定。现在把目光投向这三类最基础的数字对象：int、float、complex。它们是第二章「变量、类型与运算符」的第二种类型，也是后续所有数值计算的原材料。
本篇要回答三个问题：为什么 `2 ** 100` 在 Python 里不会溢出、在其他语言里会？为什么 `1.1 + 2.2` 不等于 3.3，而 `1.1 + 2.2` 与 `3.3` 的差又恰好是某个固定的小数？复数（complex）类型真的是「锦上添花」吗——不是，信号处理、FFT、电气工程里它无处不在。读完本篇，你将能用 sys.float_info 自行核验浮点数的精度边界，理解 int 与 float 转换时截断的方向，并掌握比较浮点数的正确工具 math.isclose。
## 概念与原理
### int：二进制补码意义上的「无限长」
很多语言里整数是固定 32 位或 64 位的，溢出后回绕甚至报错。Python 的 int 是**任意精度整数（arbitrary precision integer）**：内部按「数组 + 进制基」分段存储，CPython 在 64 位平台上以 2³⁰ 为一“位”（digit），在 32 位平台上以 2¹⁵ 为一“位”，需要多少段就分配多少段，多大的整数都能精确表示，唯一的"上限"是内存。代价是性能：Python 整数运算比原生寄存器整数慢一个数量级，因为每次运算都要走对象分配与逐段进位。这也是为什么大规模数值计算要用第三方的 NumPy（课程 06 的专题）。
int 还有几个工程常用特性：字面量里可用下划线分隔大数（1_000_000）；支持二进制、八进制、十六进制字面量 0b/0o/0x；内置 bin()、oct()、hex() 与带进制参数的 int(x, base) 做进制转换。注意 `int("ff", 16)` 里的第二个参数是「进制基」而非常规的第三个参数，这是初学者最容易写错签名的内置函数之一。
### float：IEEE 754 双精度，53 位有效二进制位
float 在 CPython 里就是 C 语言的 double，遵循 IEEE 754 双精度标准：1 位符号 + 11 位阶码 + 52 位尾数，加上隐含的前导 1，共 53 位有效二进制位，十进制稳定精度约 15-17 位（sys.float_info.dig 给出 15，即可靠往返的十进制位数）。任何十进制小数转成二进制小数都可能无限循环（就像 1/3 在十进制里无限循环），只能截取 53 位凑合——**这就是浮点误差的根源**，不是 Python 的 bug，是二进制表示的物理事实。
「15 位可靠精度」这个数字本身可以推出来：IEEE 754 双精度按 (-1)符号 × 1.f(二进制尾数) × 2^(阶码-1023) 组织数值，有效二进制位 53，而十进制有效位数约等于 53 × log10(2) ≈ 15.95——这就是 sys.float_info.dig 为 15、实际可靠位数在 15 到 17 之间浮动的数学根源。二进制里只有 1/2、1/4、1/8 这类 2 的负整数次幂是有限小数，其余十进制小数展开成二进制几乎都是无限循环：0.1 在内存里存的其实是 0.1000000000000000055511151231257827… 这个无穷展开的截断值。于是误差是**确定性的**：0.1 + 0.2 与 0.3 的差恒为 5.5511e-17（本机用 Decimal 精确核对），每次运行都是同一个数，而不是随机噪声。
由此可以引出三个推论。第一，`sys.float_info` 给出了这台机器上 float 的全部边界：最大有限值 max ≈ 1.8e308，最小正规数 min ≈ 2.2e-308，机器精度 epsilon ≈ 2.2e-16（1.0 与下一个可表示浮点数之间的距离）。第二，`0.1 + 0.2` 不等于 0.3 不是个例，任何「看起来干净」的十进制小数的运算都可能不精确，所以比较浮点数要比较「差的绝对值是否足够小」，标准库提供了 math.isclose。第三，repr(float) 从 Python 3.1 起保证「最短往返表示」：打印一个浮点数，它显示的那串字符转换回 float 后一定得到原值——这是让调试输出不吓人的背后机制。
### complex：一个直角坐标对
complex 就是两个 float 组成的「实部 + 虚部」对，写作 `a + bj`（j 是电工传统的虚数单位记号）。底层没有任何魔法：加减乘除就是二元组的四则运算，乘法展开为 (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。abs() 返回模（到原点的欧氏距离），z.real 与 z.imag 分别取出实部虚部。在只做数据处理的项目里 complex 很少见，但在 FFT、滤波器设计、量子计算模拟里它是标配：FFT 的输出天然是一串复数，滤波器系数是复数，量子概率幅本身就是复数。Python 把复数做成内置类型、并配套提供 cmath 标准库（复数的超越函数与极坐标转换），意味着写 DFT 实验代码不需要引入任何第三方库——课程 06 的数值计算专题会用上这套能力。
### 溢出、无穷与 NaN：浮点世界的边界
浮点运算除了有限值，还引入了两个特殊量：正负无穷（inf / -inf）与 NaN（非数，Not a Number）。1e308 是最大有限值，乘以 10 就溢出为 inf；inf 除以自身、0 乘以 inf 得到 NaN。NaN 有一个著名性质：**它不等于自身**，`nan == nan` 为 False，用 == 甚至 is 判断都会得到「相等不存在」的结论，判断 NaN 必须用 math.isnan，判断值是「有限的常规数」可以用 math.isfinite。传感器数据掉线、数值算法迭代发散时，这些特殊量会真实出现在数据流里，过滤脏数据的代码因此常写 math.isfinite(x) 而不是 x != inf。
### 除法与取模的家族
`/` 恒返回 float（即使整除），`//` 返回向下取整（floor）的整数，`%` 是这种 floor 除法意义下的余数，divmod() 一次给出两者。向下取整意味着 `-7 // 3 == -3`（向负无穷方向，而不是向零截断），对应 `-7 % 3 == 2`。这个取模语义在运算符章节还会系统展开，本篇只需知道「% 的结果符号总是与除数一致」。
## 操作与实现
先看 int 的全貌：任意精度、进制与分隔符。另外，float 字面量支持科学计数法：1.5e3 表示 1500.0，4.2e-7 表示 0.00000042，读写极大极小的数远比把零数清楚可靠；float("1.5e3") 也能直接解析科学计数法，而 int() 不接受小数点或 e——这个能力差异是文本解析代码里最常见的分叉点，第五节会展开。
```python
tenth = 1_000_000_000
print(tenth) # 1000000000：下划线仅作视觉分隔
print(bin(255)) # 0b11111111
print(oct(255)) # 0o377
print(hex(255)) # 0xff
print(int("ff", 16)) # 255：字符串按基 16 解析
big = 2 ** 100
print(big) # 1267650600228229401496703205376：任意精度，不溢出
print(len(str(big))) # 31：位数为 31，实打实的大整数
```
再看向浮点误差的现场。下面这些输出全部来自本机 Python 3.12 的真实运行，你没有看错，就是这些数字。
```python
import sys
print(sys.float_info) # 机器浮点边界全表
print(sys.float_info.dig) # 15：十进制可靠有效位数
print(sys.float_info.epsilon) # 2.220446049250313e-16：机器精度
print(0.1 + 0.2) # 0.30000000000000004
print(1.1 + 2.2) # 3.3000000000000003
print(1.1 + 2.2 == 3.3) # False：精确相等判断失败
```
sys.float_info 是一个由 namedtuple 派生的小对象，max、max_10_exp、min、min_10_exp、dig、mant_dig、epsilon 等字段的含义在标准库文档里有完整说明，只要记住关键词「53 位有效位 / 15 位十进制 / epsilon 2.2e-16」就能应付 99% 的场合。
比较浮点数的正确姿势是 math.isclose：它默认要求两数差的绝对值不超过 rel_tol\*max(|a|,|b|) 加上 abs_tol，两个容差都可以自己调。
```python
from math import isclose, pi
print(isclose(1.1 + 2.2, 3.3)) # True：差约 4.4e-16，远小于默认容差
print(isclose(pi, 22 / 7)) # False：相对误差约 4e-4，超出默认 rel_tol=1e-9
print(isclose(pi, 22 / 7, rel_tol=1e-3)) # True：放宽相对容差到千分之一
print(round(2.5)) # 2：银行家舍入（就近取偶）
print(round(3.5)) # 4：而不是常规的四舍五入
print(round(2.675, 2)) # 2.67：2.675 的二进制近似略小于真值
```
round() 遵循的是「银行家舍入」（round half to even）：恰好落在两个候选值正中间时，取偶数的那个。2.5 在 2 和 3 中间取 2，3.5 在 3 和 4 中间取 4。而 round(2.675, 2) 输出 2.67 则更精彩：2.675 在内存里的值其实是 2.6749999999999998……，小于一半，于是被舍成 2.67——这恰恰是浮点误差的又一个实例，值得反复体会。
复数的操作与工程示例结合起来看。
```python
z = 1 + 2j # 字面量：实部 1，虚部 2
print(z.real, z.imag) # 1.0 2.0：取出的都是 float
print(abs(z)) # 2.23606797749979：模 = sqrt(1²+2²)
print(z * (3 - 4j)) # (11+2j)：(ac-bd)+(ad+bc)i
print(complex(0, 1) ** 2) # (-1+0j)：虚数单位平方等于 -1，字面验证
```
最后是 int 与 float 转换的截断语义与除法的 floor 家族。工程上最常见的数值场景是「文本转数字」：从配置文件、命令行参数、网页表单读到的全是字符串。int() 与 float() 是解析入口，但宽容度截然不同：int("3") 成功、int("3.0") 报错、float("3") 与 float("3.0") 都成功——选哪个入口取决于输入格式是否可控，这也是后续章节做数据清洗时反复出现的判断。
```python
print(int(3.99)) # 3：向零截断，不是四舍五入
print(int(-3.99)) # -3：同样是向零
try:
int("3.14")
except ValueError as e:
print(type(e).__name__, ":", e) # ValueError: invalid literal ...
print(int("3") + 4) # 7：字符串转 int 才能参与算术
print(7 / 2) # 3.5：/ 恒返回 float
print(7 // 2) # 3：floor 除法
print(-7 // 3) # -3：向负无穷取整
print(-7 % 3) # 2：余数符号与除数一致
print(divmod(-7, 3)) # (-3, 2)：商与余数一次给出
```
## 易错点与陷阱
### 陷阱一：直接用 == 比较浮点数
看到 `1.1 + 2.2 == 3.3` 为 False 就慌了？这是二进制表示的正常现象。正确做法是 math.isclose；如果两个数来自同一份数值推导（比如同一次迭代的中途结果），还可以用它们之间相减的绝对值与阈值比较。特别注意：isclose 在两边都接近 0 时行为不同（rel_tol 乘 0 还是 0），此时要显式给 abs_tol，比如 `isclose(x, 0.0, abs_tol=1e-9)`。
### 陷阱二：金额、计费数据用 float 累加
0.1 元累加 10 次很可能得到 0.9999999999999999。金融场景应该用标准库的 decimal.Decimal（以十进制十进制定点表示，可以精确到分），或者全部换算成整数「分」计算。这个知识点在标准库章节会系统介绍，现在记住结论：float 适合科学计算与传感器数据，不适合「必须精确到分」的账务数据。
### 陷阱三：int("3.14") 与 int(3.14) 分不清
两个写法一个报 ValueError，一个安静截断。`int("3.14")` 是字符串解析，要求字符串整体是合法整数；`int(3.14)` 是浮点转整数，直接向零截断小数部分——想四舍五入要自己写 round(int(...)) 的组合或加 0.5 取整（负数时注意方向）。工程上最常见的错误是从配置文件读回数字时没做类型转换：读出来是字符串 "2500"，直接参与乘法得到 "25002500" 而不是 25000000，排查半天。
### 陷阱四：误以为 round() 是四舍五入
银行家舍入让 `round(2.5) == 2`，让「四舍五入」教条的读者猝不及防。更麻烦的是 round(2.675, 2) 这类浮点意外。需要严格的「四舍五入到 n 位小数」时，工程上常用 Decimal 的 quantize 或第三方的 decimal 上下文控制，而不是原生 round()。
### 陷阱五：拿浮点当循环计数器
`x = 0.0` 循环累加 0.1 十次，结果是 0.9999999999999999（本机实测），而 x < 1.0 的循环条件在第十次时恰好成立、第十一次后永不成立——累计误差让退出条件变得不可预期。次数类计数请一律用整数或 range（第三章的主题），浮点只承担「度量」职责：量温度、算比例、测时间，而不数次数。
## 小结
int 是任意精度整数，靠分段存储换来了不溢出的能力，代价是比原生整数慢；float 是 IEEE 754 双精度，53 位有效二进制位决定了它无法精确表示大部分十进制小数，误差由此而来，比较要靠 math.isclose；complex 是一对 float，承载复平面上的点。round 走银行家舍入，int() 对浮点向零截断，处理「分」级精度时要主动选择 Decimal。下一篇进入布尔值——True 与 False 背后的真值测试逻辑，你会发现它和本篇的数字类型有着惊人的血缘关系（剧透：True 其实就是整数 1 的子类）。
## 练习与思考题
1. 用 sys.float_info 验证：epsilon 加上 1.0 之后是否大于 1.0？如果给 1.0 加上 epsilon 的一半再比较结果是什么？解释原因。
2. 写出 `int("0x1f", 16)`、`int("101", 2)`、`int("371", 8)` 的值并运行验证，然后说明 int(x, base) 对字符串前缀 0x/0o/0b 的宽容行为。
3. 为什么 `round(2.675, 2)` 得到 2.67 而不是 2.68？用 `format(2.675, '.20f')` 观察 2.675 的真实二进制展开再说出结论。
4. 思考题：`0.1 + 0.2 == 0.3` 为 False，但 `0.5 + 0.25 == 0.75` 为 True。同样是十进制小数，为什么后者碰巧精确？提示：0.5 与 0.25 都是 2 的负整数次幂，它们在二进制下是有限小数。